Descripción matemática
La conjetura de Collatz (también conocida como 3n + 1) es una afirmación sencilla de enunciar sobre números enteros positivos, pero cuya validez general no ha sido demostrada ni refutada.
Enunciado
Sea \(n\) un entero positivo. Se define una función iterativa \(T:\mathbb{Z}^{+}\to\mathbb{Z}^{+}\) por:
- Si \(n\) es par, \(T(n)=\dfrac{n}{2}\).
- Si \(n\) es impar, \(T(n)=3n+1\).
La conjetura afirma que, aplicando iteradamente \(T\) a cualquier \(n\in\mathbb{Z}^{+}\), eventualmente se alcanza el valor 1. Más formalmente: para todo \(n\in\mathbb{Z}^{+}\) existe \(k\in\mathbb{N}\) tal que \(T^{(k)}(n)=1\), donde \(T^{(k)}\) denota la k-ésima iteración de \(T\).
Observaciones y propiedades básicas
- Una vez alcanzado \(1\) se entra en el ciclo \(1\to 4\to 2\to 1\).
- No se conoce ninguna otra órbita cíclica aparte del ciclo trivial mencionado.
- Se han verificado por cálculo que todos los enteros hasta valores extremadamente grandes cumplen la conjetura, pero no existe una demostración general.
Ejemplo ilustrativo (secuencia matemática)
Para \(n=6\) la sucesión de iteraciones es:
\(6\to 3\to 10\to 5\to 16\to 8\to 4\to 2\to 1\).
Historia breve
La conjetura fue propuesta por Lothar Collatz en 1937. A pesar de numerosos intentos y de mucha investigación numérica y teórica, sigue siendo un problema abierto en la teoría de los números.
