🔷 Números de Kaprekar
¿Qué es un número de Kaprekar?
En matemáticas, un número de Kaprekar es un número entero no negativo que, al elevarse al cuadrado en una base dada, puede dividirse en dos partes cuyos valores suman el número original.
Por ejemplo, en base 10: 45 es un número de Kaprekar porque \( 45^2 = 2025 \), y \( 20 + 25 = 45 \). También, \( 999^2 = 998001 \), y \( 998 + 001 = 999 \).
Definición formal
Sea \( X \) un número entero no negativo. Se dice que \( X \) es un número de Kaprekar en una base \( b \) si existen enteros no negativos \( A \), \( B \) y un entero positivo \( n \) tales que:
- \( X^2 = A \cdot b^n + B \)
- \( A + B = X \)
- \( 0 < B < b^n \)
La parte \( B \) debe tener exactamente \( n \) dígitos en base \( b \).
Ejemplos en base 10
- 9: \( 9^2 = 81 \) → \( 8 + 1 = 9 \)
- 45: \( 45^2 = 2025 \) → \( 20 + 25 = 45 \)
- 297: \( 297^2 = 88209 \) → \( 88 + 209 = 297 \)
- 999: \( 999^2 = 998001 \) → \( 998 + 001 = 999 \)
Propiedades y observaciones
- En base 10, los primeros números de Kaprekar son:
1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, … - En base 2, todos los números perfectos son también números de Kaprekar.
- En cualquier base \( b \), existen infinitos números de Kaprekar.
- Todo número de la forma \( b^n - 1 \) es un número de Kaprekar en base \( b \).
- No deben confundirse con la constante de Kaprekar (6174), que es otro fenómeno matemático.
Tabla: primeros números de Kaprekar en base 10
| # | Número | Cuadrado | Partes | Suma |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 0 + 1 | 1 |
| 2 | 9 | 81 | 8 + 1 | 9 |
| 3 | 45 | 2025 | 20 + 25 | 45 |
| 4 | 55 | 3025 | 30 + 25 | 55 |
| 5 | 99 | 9801 | 98 + 01 | 99 |
| 6 | 297 | 88209 | 88 + 209 | 297 |
| 7 | 703 | 494209 | 494 + 209 | 703 |
| 8 | 999 | 998001 | 998 + 001 | 999 |
| 9 | 2223 | 4941729 | 4941 + 729 | 2223 |
| 10 | 2728 | 7441984 | 7441 + 984 | 2728 |
Fuente: Wikipedia y teoría de números recreativa.
